Problem początkowy dla równania ciepła

Skonstruowane w (module Równanie Poissona-( 11 ) ) rozwiązanie podstawowe równania ciepła wykorzystamy teraz dla znalezienia rozwiązania problemu Cauchy'ego (problemu początkowego) dla równania ciepła:

(1)

\( \begin{array}{ll}u_t-\Delta u=0 & \textrm{dla} \quad (x,t) \in R^n \times (0,\infty),\\ \\u(x,0)=g(x) &\textrm{dla}\quad x\in R^n,\end{array} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc g:R^n\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją. Przypomnijmy, że dla \( \hskip 0.3pc t\neq 0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) dana wzorem

(2)

\( \Phi(x,t)=\begin{cases}\dfrac {1}{(\sqrt{4\pi t})^n}e^{-\dfrac{\|x\|^2}{4t}}, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x\in R^n,\hskip0.3pct>0;\\0, & {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x\in R^n,\hskip 0.3pct<0,\end{cases} \)

jest rozwiązaniem równania

(3)

\( u_t = \Delta u. \)

Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnie ustalonego \( \hskip 0.3pc z\in\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) również funkcja \( \hskip 0.3pc (x,t) \mapsto \Phi(x-z,t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ) dla \( \hskip 0.3pc t\neq 0.\hskip 0.3pc \) Rozważmy teraz funkcję \( \hskip 0.3pc u:\,\mathbb R^n\times(0,\infty) \to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) daną wzorem

(4)

\( u(x,t)= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Phi(x-z,t)g(z)dz = \dfrac {1}{\big(\sqrt{4\pi t}\,\big)^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-\dfrac{\|x-z\|^2}{4t}}g(z)dz. \)

Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest splotem rozwiązania podstawowego \( \hskip 0.3pc \Phi \hskip 0.3pc \) oraz funkcji \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \).

Lemat 1:

Dla każdego \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \)

\( \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Phi(x,t)\,dx=1. \)

Istotnie

\( \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Phi(x,t)dx = \dfrac {1}{\big(\sqrt{4\pi t}\,\big)^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-\dfrac{\|x\|^2}{4t}}dx= \dfrac {1}{\big(\sqrt{4\pi t}\,\big)^n}\int_{\mathbb R}e^{-\dfrac{x_1^2}{4t}}dx_1 \cdot \ldots \cdot \displaystyle \int_{\mathbb R}e^{-\dfrac{x_n^2}{4t}}dx_n= \dfrac{1}{\big(\sqrt{4\pi t}\,\big)^n}\,\big(\sqrt{4\pi t}\,\big)^n=1. \)

Zauważmy na koniec, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi(\cdot,\,t)\hskip 0.3pc \) jest gęstością rozkładu normalnego (rozkładu Gaussa).

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc g \in C(\mathbb R^n)\cap L^{\infty}(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \). Niech funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie dana wzorem ( 4 ).

TEZA:

Wówczas:

(i) \( \hskip 0.3pc u\in C^{\infty}\big(\mathbb R^n\times (0,\infty )\big)\hskip 0.3pc \);

(ii) \( \hskip 0.3pc u_t-\Delta u=0\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n\times (0, \infty )\hskip 0.3pc \);

(iii) \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim\limits_{ (x,t)\to ( x^0 ,\,0+)}u(x,t) =g(x^0)\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x^0\in \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Ad (i). Ponieważ dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \delta >0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \big(1/t^{n/2}\big)e^{-\|x\|^2/(4t)}\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\times (\delta, 1/\delta )\hskip 0.3pc \), a jej pochodne są jednostajnie ograniczone, zatem \( \hskip 0.3pc u \in C^{\infty}\big(\mathbb R^n\times (\delta, 1/\delta )\big)\hskip 0.3pc \). Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta >0\hskip 0.3pc \) było dowolne, funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\times (0,\infty )\hskip 0.3pc \).

Ad(ii). Mamy

\( u_t(x,t)-\Delta u(x,t)=\displaystyle\int_{\mathbb R^n}\big(\Phi_t-\Delta_x \Phi \big)(x-z,t)g(z)dz=0\quad {\rm dla}\hskip 0.3pc x\in \mathbb R^n,\,\,t>0, \)

bowiem \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ).

Ad (iii). Niech \( \hskip 0.3pc x^0 \in \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \). Dobierzmy \( \hskip 0.3pc \delta >0\hskip 0.3pc \) tak, aby

\( \big|g(x)-g(x^0)\big|< \varepsilon \qquad {\rm dla}\hskip 0.3pc x \in B(x^0, \delta ). \)

Z lematu 1 wynika natychmiast, że

\( \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Phi(x-z,t)dz =1. \)

Wykorzystując ten fakt mamy

\( u(x,t)-g(x^o)= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}\Phi(x-z,t)\big[g(z)-g(x^o)\big]dz. \)

Połóżmy

\( I_1= \displaystyle\int_{B (x^o,\,\delta)}\Phi(x-z,t)\big[g(z)-g(x^o)\big]dz, \)

\( I_2=\displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B(x^o,\delta)}\Phi(x-z,t)\big[g(z)-g(x^o)\big]dz. \)

Na mocy doboru liczby \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) oraz lematu 1

\( |I_1|\leq \varepsilon \displaystyle\int_{B (x^o,\,\delta)}\Phi(x-z,t)\,dz\leq \varepsilon . \)

Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc \|x-x^o\| \leq \delta /2\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \|z-x^o\| >\delta\hskip 0.3pc \), to

\( \|z-x^o\|\,\leq \,\|z-x\|+\|x-x^o\|\,\leq \,\|z-x\|+ \delta /2 \,<\, \|z-x\|+ \|z-x^o\|/2 \)

i w konsekwencji

\( \|z-x\| > \dfrac 12\|z-x^o\|. \)

Zatem, jeśli \( \hskip 0.3pc \|x-x^o\| <\delta /2,\hskip 0.3pc \) to

\( |I_2|\leq 2\|g\|_{L^{\infty}}\displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B (x^o,\delta)}\Phi(x-z,t)\,dz=\dfrac{C}{t^{n/2}} \displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B (x^o,\,\delta)}e^{-\dfrac{\|z-x\|^2}{4t}}dz \leq \dfrac{C}{t^{n/2}} \displaystyle\int_{\mathbb R^n\setminus B (x^o,\,\delta)}e^{-\dfrac{\|z-x^o\|^2}{16t}}dz, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C= 2\|g\|_{L^{\infty}} /(\sqrt{4\pi})^n\hskip 0.3pc \). Zauważmy, że prawa strona ostatniej nierówności dąży do zera gdy \( \hskip 0.3pc t \to 0+\hskip 0.3pc \). Zatem dla \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) dostatecznie małych oraz \( \hskip 0.3pc \|x-x^o\| < \delta /2\hskip 0.3pc \) mamy

\( |u(x,t)-g(x^o)|\leq |I_1|+|I_2| < 2\varepsilon. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) było dowolne, warunek (iii) został pokazany.

Pierwszy problem brzegowy Dirichleta.

Obok problemu początkowego dla równania ciepła również bardzo ważnym jest tak zwany pierwszy problem brzegowy Dirichleta. Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie obszarem w \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n\times [0,T)\hskip 0.3pc \) o tej własności, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t \in [0,T)\hskip 0.3pc \) zbiór \( \hskip 0.3pc \big\{x:\, (x,\,t) \in \Omega\big\}\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-wymiarowym obszarem w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \). Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) boczną powierzchnie \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) wraz z jego podstawą. Wówczas pierwszym zagadnieniem brzegowym Dirichleta nazywamy problem znalezienia rozwiązania równania

\( u_t=\Delta u,\quad (x,t)\in \Omega, \)

spełniającego warunek

\( u(x,t)=\varphi (x,t),\quad (x,t)\in S, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją.

Niejednorodny problem początkowy dla równania ciepła.

Rozważmy teraz niejednorodny problem Cauchy'ego

\( \begin{array}{ll} &u_t-\Delta u=f(x,t)\qquad \textrm{dla} \quad (x,t) \in \mathbb R^n \times (0,\infty),\\ \\&u(x,0)=0 \qquad {\rm dla}\quad x\in \mathbb R^n,\end{array} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc f:\, \mathbb R^n\times \mathbb R_+\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją.
Rozważamy problem pomocniczy

\( \begin{aligned}&w_t=\Delta w \qquad {\rm dla}\quad (x,t)\in \mathbb R^n\times (\tau ,+\infty),\\ \\& w(x,\tau )=f(x,\tau ) \qquad {\rm dla }\quad x\in \mathbb R^n.\end{aligned} \)

Zgodnie z wzorem ( 4 ), kładąc \( \hskip 0.3pc s=t-\tau\hskip 0.3pc \), rozwiązanie tego problemu możemy zapisć w postaci

\( w(x,t;\tau )= \dfrac {1}{\big(\sqrt{4\pi (t-\tau )}\,\big)^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-\dfrac{\|x-z\|^2}{4(t-\tau )}}f(z,\tau)dz. \)

Nietrudno sprawdzić, że funkcja

\( u(x,t)= \dfrac {1}{\big( \sqrt{4\pi }\,\big)^n}\displaystyle\int_0^t\Bigg( \dfrac 1{\big(\sqrt{t-\tau}\big)^n} \displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-\dfrac{\|x-z\|^2}{4(t-\tau )}}f(z,\tau )\,dz\Bigg)\,d\tau \)

jest szukanym rozwiązaniem niejednorodnego problemu Cauchy'ego.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka